Estimation of genetic merit from bivariate « all or none » responses

A method of analysis of bivariate « all or none » categorical responses arising in animal breeding is presented. Conceptual bivariate normal variates following a mixed linear model are mapped onto a discrete scale via fixed thresholds. Parameters of the underlying scale are estimated in a Bayesian framework by finding the mode of a joint posterior distribution. The method requires iterative implementation and evaluation of bivariate normal integrals ; estimation equations are presented. An application of the method to data on calf viability and calving ease is presented.Cet article présente une méthode d’analyse bidimensionnelle de caractères tout-ou-rien intervenant en sélection animale. La modélisation des réponses tout-ou-rien postule l’existence d’une distribution binormale de variables sous-jacentes à seuils qui suivent un modèle linéaire mixte. Les paramètres sur l’échelle sous-jacente sont estimés selon une procédure bayesienne à partir du mode de la distribution a posteriori. La méthode implique une résolution itérative et le calcul d’intégrales normales à 2 dimensions. Le système correspondant d’équations est décrit. La méthode est illustrée par une application à des données de viabilité et conditions de naissance de veaux

Statistical analysis of ordered categorical data via a structural heteroskedastic threshold model

In the standard threshold model, differences among statistical subpopulations in the distribution of ordered polychotomous responses are modeled via differences in location parameters of an underlying normal scale. A new model is proposed whereby subpopulations can also differ in dispersion (scaling) parameters. Heterogeneity in such parameters is described using a structural linear model and a loglink function involving continuous or discrete covariates. Inference (estimation, testing procedures, goodness of fit) about parameters in fixed-effects models is based on likelihood procedures. Bayesian techniques are also described to deal with mixed-effects model structures. An application to calving ease scores in the US Simmental breed is presented; the heteroskedastic threshold model had a better goodness of fit than the standard one.Dans le modèle à seuils classique, les différences de réponses entre sous-populations selon des catégories discrètes ordonnées sont modélisées par des différences entre paramètres de position mesurés sur une variable normale sous-jacente. L’approche présentée ici suppose que ces sous-populations diffèrent aussi par leurs paramètres de dispersion (ou paramètres d’échelle). L’hétérogénéité de ces paramètres est décrite par un modèle linéaire structurel et une fonction de lien logarithmique impliquant des covariables discrètes ou continues. L’inférence (estimation, qualité d’ajustement, test d’hypothèse) sur les paramètres dans les modèles à effets fixes est basée sur les méthodes du maximum de vraisemblance. Des techniques bayésiennes sont également proposées pour le traitement des modèles linéaires mixtes. Une application aux notes de difficultés de vêlage en race Simmental américaine est présentée. Le modèle à seuils hétéroscédastiqué améliore dans ce cas la qualité de l’ajustement des données par rapport au modèle standard

Sire evaluation for ordered categorical data with a threshold model

A method of evaluation of ordered categorical responses is presented. The probability of response in a given category follows a normal integral with an argument dependent on fixed thresholds and random variables sampled from a conceptual distribution with known first and second moments, a priori. The prior distribution and the likelihood function are combined to yield the posterior density from which inferences are made. The mode of the posterior distribution is taken as an estimator of location. Finding this mode entails solving a non-linear system ; estimation equations are presented. Relationships of the procedure to "generalized linear models" and "normal scores are discussed. A numerical example involving sire evaluation for calving ease is used to illustrate the method.Cet article présente une méthode d’évaluation des reproducteurs sur un caractère à expression discrète et ordonnée. La probabilité de réponse dans une catégorie donnée est exprimée comme l’intégrale d’une loi normale dont les bornes dépendent de seuils fixés et de variables aléatoires de premiers et deuxièmes moments connus. La distribution a priori des paramètres et la fonction de vraisemblance sont combinées en vue de l’obtention de la densité a postériori qui sert de base à l’inférence statistique. Les paramètres sont estimés par les modes a postériori, ce qui conduit à la résolution d’un système d’équations non linéaires. Les relations qui apparaissent entre cette méthode et celles du modèle linéaire généralisé d’une part, et des scores normaux d’autre part, sont discutées. Enfin, l’article présente une illustration numérique de cette méthode qui a trait à l’évaluation de taureaux sur les difficultés de naissance de leurs produits

Linear versus nonlinear methods of sire evaluation for categorical traits: a simulation study

Linear (BLUP) and nonlinear (GFCAT) methods of sire evaluation for categorical data were compared using Monte Carlo techniques. Binary and ordered tetrachotomous responses were generated from an underlying normal distribution via fixed thresholds, so as to model incidences in the population as a whole. Sires were sampled from a normal distribution and family structure consisted of half-sib groups of equal or unequal size; simulations were done at several levels of heritability (h2). When a one-way model was tenable or when responses were tetrachotomous, the differences between the 2 methods were negligible. However, when responses were binary, the layout was highly unbalanced and a mixed model was appropriate to describe the underlying variate, GFCAT elicited significantly larger responses to truncation selection than BLUP at h2.20 or.50 and when the incidence in the = population was below 25 p. 100. The largest observed difference in selection efficiency between the 2 methods was 12 p. 100

Sire evaluation with uncertain paternity

A sire evaluation procedure is proposed for situations in which there is uncertainty with respect to the assignment of progeny to sires. The method requires the specification of the prior probabilities Pij that progeny i is out of sire j. Inferences about location parameters (« fixed » environmental and group effects and transmitting abilities of sires) are based on Bayesian statistical procedures. Modal values of the posterior distribution of these parameters are taken as point estimators. Finding this mode entails solving a nonlinear system of equations and several algorithms are suggested. The methodology is described for univariate evaluations obtained from normal or binary traits. Estimation of unknown variances is also addressed. A small numerical example is presented to illustrate the procedure. Potential applications to livestock breeding are discussed.Une méthode d’évaluation des pères est proposée en situation d’incertitude vis-à-vis de l’assignation des descendants à leurs pères. La méthode requiert la spécification des probabilités a priori Pij que le descendant i provienne du père j. L’inférence des paramètres de position (effets « groupe » et de milieu, considérés comme fixes et valeurs génétiques transmises des pères) est basée sur des procédures statistiques bayésiennes. Les valeurs modales de la distribution a posteriori de ces paramètres ont été prises comme estimateurs ponctuels. La recherche du mode nécessite la résolution d’un système d’équations non linéaire pour lequel plusieurs algorithmes sont proposés. La méthodologie est développée dans le cadre univariate pour des caractères normaux et binaires. Le cas de variances inconnues est également abordé. Un petit exemple numérique est présenté à titre d’illustration. Enfin, les applications possibles aux espèces domestiques sont discutées

Prediction of genetic merit from data on binary and quantitative variates with an application to calving difficulty, birth weight and pelvic opening

A method of prediction of genetic merit from jointly distributed quanta] and quantitative responses is described. The probability of response in one of two mutually exclusive and exhaustive categories is modeled as a non-linear function of classification and « risk » variables. Inferences are made from the mode of a posterior distribution resulting from the combination of a multivariate normal density, a priori, and a product binomial likelihood function. Parameter estimates are obtained with the Newton-Raphson algorithm, which yields a system similar to the mixed model equations. « Nested » Gauss-Seidel and conjugate gradient procedures are suggested to proceed from one iterate to the next in large problems. A possible method for estimating multivariate variance (covariance) components involving, jointly, the categorical and quantitative variates is presented. The method was applied to prediction of calving difficulty as a binary variable with birth weight and pelvic opening as « risk » variables in a Blonde d’Aquitaine population.Cet article présente une méthode de prédiction de la valeur génétique à partir d’observations quantitatives et qualitatives. La probabilité de réponse selon l’une des deux modalités exclusives et exhaustives envisagées est exprimée comme une fonction non linéaire d’effets de facteurs d’incidence et de variables de risque. L’inférence statistique repose sur le mode de la distribution a posteriori qui combine une densité multinormale a priori et une fonction de vraisemblance produit de binomiales. Les estimations sont calculées à partir de l’algorithme de Newton-Raphson qui conduit à un système d’équations similaires à celles du modèle mixte. Pour les gros fichiers, on suggère des méthodes itératives de résolution telles que celles de Gauss-Seidel et du gradient conjugué. On propose également une méthode d’estimation des composantes de variances et covariances relatives aux variables discrètes et continues. Enfin, la méthodologie présentée est illustrée par une application numérique qui a trait à la prédiction des difficultés de vêlage en race bovine Blonde d’Aquitaine utilisant d’une part, l’appréciation tout-ou-rien du caractère, et d’autre part, le poids à la naissance du veau et l’ouverture pelvienne de la mère comme des variables de risque